Урок 36 12/01

Домашнее задание 

Посмотреть видео

5-сторонний квадрат

Воображаемый Лобачевский

Дополнительно (по желанию, на листочке) сделать конспект про Лобачевского.

Если интересно, 

можно посмотреть видео про Гаусса  История математики 3. Пределы пространства.

На уроке

Повторяли и обобщали материал прошлого урока.

Точка – это идеальный математический объект, который не имеет ни длины, ни ширины.

Точка – один из примеров идеальных объектов, у него нет определения, как и у других базовых понятий. Следующий базовый объект – это отрезок или прямая, так как отрезок – это часть прямой.


Следующие конструкции – это комбинации простейших объектов. Например, две прямые. Они или пересекаются на плоскости , или не пересекаются, т. е. параллельны.

Две прямые образуют углы. Если угол развернутый, то прямые параллельны; если нет – прямые пересекаются. Т. е. угол – это отношение между прямыми.

Важно то, что углы можно СРАВНИВАТЬ.

Из всего множества углов можно выделить наиболее часто встречающиеся.

Развернутый угол – угол, который образует прямая, половина от полного оборота

При пересечении прямых может образоваться еще один особый угол – прямой

Замечателен он тем, что прямые, которые его образуют, расположены таким образом, что одна из них не падает ни вправо, ни влево относительно второй. Поэтому мы говорим, что стена дома должна быть расположена перпендикулярно земле, чтобы он не упал и т. д

Угол, который меньше прямого, – острый угол. Больше прямого – тупой

Взаимное расположение трех прямых:

1-й случай: все три прямые параллельны

2-й случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает

Рассмотрим такой пример: один человек с закрытыми глазами проводит прямую карандашом, а другой после этого произвольно поворачивает лист – в результате после трех таких операций получится треугольник. Или, например, если с закрытыми глазами бросить три спички на бумагу и продолжить их, то также получится треугольник

Три прямые, проведенные на плоскости случайным образом почти всегда образуют треугольник.

С одной стороны, треугольник образуют три прямые. Посмотрим на треугольник с другой стороны, т. е. как на фигуру, состоящую из отрезков. Про два отрезка ничего нельзя сказать, они не могут замкнуться, так как всегда есть начало, есть конец, и они не совпадают

Если добавить третий отрезок, то получим наименьшую возможную замкнутую ломаную – треугольник

Исходя из этих свойств и особенностей, из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников, и т. д.

Треугольники изучаются потому, что на практике имеют большое значение. Для того чтобы построить устойчивую фигуру, нужно использовать треугольники. Несущие конструкции состоят как раз из треугольников. Треугольник также используется для измерения расстояний

Треугольник часто встречается, но он также легко вычисляем в том смысле, что, зная три элемента треугольника (две стороны и угол между ними; два угла и сторону; три стороны), мы можем вычислить все остальные элементы. Таким образом, треугольник можно рассчитать, а раз можно рассчитать, то, соответственно, можно дальше считать жесткость конструкции или какие-то другие искомые параметры. Например, для произвольного семиугольника мы уже так легко семью элементами не обойдемся. Даже зная все его стороны, не факт, что мы однозначно сможем построить этот семиугольник. Для треугольника все проще: однозначно можно восстановить треугольник по трем элементам, и эта особенность треугольника делает его важнейшим геометрическим объектом.

Абсолютно симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны, – это равносторонний треугольник. Данный вид треугольников имеет три оси симметрии. Т. е. если мы повернем треугольник на , то получим точно такой же треугольник

Данный треугольник задается одним параметром – длиной стороны. Она полностью определяет все значения и размеры в этом треугольнике.

Мы говорим о правильном треугольнике потому, что дальше есть смысл говорить о правильных многоугольниках. Треугольник имеет  угла; четырехугольник –  угла; пятиугольник –  углов и т. д. Соответственно, многоугольник имеет «много углов». Любой правильный многоугольник задается одним параметром.

Классификация четырехугольников

Мы легко можем посчитать площадь прямоугольника, но вот для -, -угольников трудно выделить какие-то особенные свойства, кроме одного единственного случая, когда многоугольник правильный – все углы, все стороны равны и многоугольник задается одним единственным параметром – длиной стороны. Если увеличивать количество сторон многоугольника, то для нашего глаза полученная фигура ничем не будет отличаться от еще одной простой, но в тоже время сложной фигуры – окружности, которая также задается одним параметром – радиусом. Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки этой окружности. Все окружности подобны, как и все правильные треугольники, четырехугольники и т. д.

Окружность также задается одним параметром – радиусом, она часто встречается в физике и в жизни. Например, при падении капли от нее остаются следы – окружности

Далее рассматривали ленту Мёбиуса.

Смотрели видео "Пятый постулат"