Урок 53 от 12/01

Домашнего задания нет.

 

На уроке

Три прямые, проведенные на плоскости случайным образом почти всегда образуют треугольник.

С одной стороны, треугольник образуют три прямые. Посмотрим на треугольник с другой стороны, т. е. как на фигуру, состоящую из отрезков. Про два отрезка ничего нельзя сказать, они не могут замкнуться, так как всегда есть начало, есть конец, и они не совпадают

Если добавить третий отрезок, то получим наименьшую возможную замкнутую ломаную – треугольник

Исходя из этих свойств и особенностей, из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников, и т. д.

Треугольники изучаются потому, что на практике имеют большое значение. Для того чтобы построить устойчивую фигуру, нужно использовать треугольники. Несущие конструкции состоят как раз из треугольников. Треугольник также используется для измерения расстояний

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, в любой треугольник можно вписать окружность. Это работает только с треугольниками. Для четырехугольников и других многоугольников существуют признаки, определяющие можно это сделать или нет.

Треугольник часто встречается, но он также легко вычисляем в том смысле, что, зная три элемента треугольника (две стороны и угол между ними; два угла и сторону; три стороны), мы можем вычислить все остальные элементы. Таким образом, треугольник можно рассчитать, а раз можно рассчитать, то, соответственно, можно дальше считать жесткость конструкции или какие-то другие искомые параметры. Например, для произвольного семиугольника мы уже так легко семью элементами не обойдемся. Даже зная все его стороны, не факт, что мы однозначно сможем построить этот семиугольник. Для треугольника все проще: однозначно можно восстановить треугольник по трем элементам, и эта особенность треугольника делает его важнейшим геометрическим объектом.

Раз треугольник можно задать тремя элементами, то есть смысл ввести некую классификацию треугольников. Сказать, что если два треугольника похожи в каком-то смысле, то мы можем считать, что они имеют какие-то похожие свойства.

Не из любых трех отрезков можно составить треугольник – для этого они должны удовлетворять важному свойству, которое называется неравенством треугольника.

Неравенство треугольника: сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны . Т. е. это условие, при котором из трех отрезков можно составить треугольник.

Еще одно свойство, которое выполняется для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота, или, по-другому, сумма углов треугольника – два прямых угла

Треугольники можно классифицировать по схожести: подобные (и их частный случай – равные) треугольники

Второй способ классификации треугольников – это выделение некоторых типов треугольников. Мы говорили, что один из типов – это прямоугольный треугольник

• теорема Пифагора: сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы;
• свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы ;
• с прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии , т. е. говорим о связи геометрии и алгебры. Измеряем углы с помощью отношений. Вводим понятия синуса, косинуса. Знаем, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Классификация треугольников по его сторонам.

Если две стороны треугольника равны, то треугольник называется равнобедренным и понятно, что у него появляется ось симметрии. 

Абсолютно симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны, – это равносторонний треугольник. Данный вид треугольников имеет три оси симметрии. Т. е. если мы повернем треугольник на , то получим точно такой же треугольник

Данный треугольник задается одним параметром – длиной стороны. Она полностью определяет все значения и размеры в этом треугольнике.

Мы говорим о правильном треугольнике потому, что дальше есть смысл говорить о правильных многоугольниках. Треугольник имеет  угла; четырехугольник –  угла; пятиугольник –  углов и т. д. Соответственно, многоугольник имеет «много углов». Любой правильный многоугольник задается одним параметром.

Классификация четырехугольников

Мы легко можем посчитать площадь прямоугольника, но вот для -, -угольников трудно выделить какие-то особенные свойства, кроме одного единственного случая, когда многоугольник правильный – все углы, все стороны равны и многоугольник задается одним единственным параметром – длиной стороны. Если увеличивать количество сторон многоугольника, то для нашего глаза полученная фигура ничем не будет отличаться от еще одной простой, но в тоже время сложной фигуры – окружности, которая также задается одним параметром – радиусом. Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки этой окружности. Все окружности подобны, как и все правильные треугольники, четырехугольники и т. д.

Окружность также задается одним параметром – радиусом, она часто встречается в физике и в жизни. Например, при падении капли от нее остаются следы – окружности

Следующий уровень – это взаимодействие всех вышеупомянутых объектов. Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может пересекать ее, а может касаться, т. е. пересекать в одной точке

Треугольник и окружность очень тесно взаимосвязаны. Существует множество задач в задачниках на эту тему, чтобы отработать технику. Существуют также практические задачи. Например, поставить вышку мобильной связи для трех сел так, чтобы качество связи было во всех деревнях наилучшим. Тогда точка расположения вышки – центр описанной окружности